Diketahui dua buah lingkaran dengan persamaan $ x^{2}+y^{2}=16$ dan $\left ( x-8 \right )^{2}+\left ( y+6 \right )^{2}=9$. Tentukan persamaan garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut.
Penyelesaian:
Dari persamaan lingkaran $ x^{2}+y^{2}=16$ didapat:
Pusat (0,0) dan jari-jari = $\sqrt{16}=4$
Dari persamaan lingkaran $\left ( x-8 \right )^{2}+\left ( y+6 \right )^{2}=9$ didapat :
Pusat (8, -6) dan jari-jari = $\sqrt{9}=3$
Kemudian cari titik singgung dari kedua lingkaran tersebut dengan menggunakan rumus $S=\left ( \frac{r_{A}.x_{B}+r_{B}.x_{A}}{r_{A}+r_{B}};\frac{r_{A}.y_{B}+r_{B}.y_{A}}{r_{A}+r_{B}} \right )$.
Dari keterangan diatas, diketahui bahwa:
$r_{A}=4,r_{B}=3,x_{A}=0,x_{B}=8,y_{A}=0,y_{B}=-6$
Maka didapat :
$\begin{align*}x_{s} &=\frac{r_{A}.x_{B}+r_{B}.x_{A}}{r_{A}+r_{B}} \\ &=\frac{4.8+3.0}{4+3} \\ &= \frac{32}{7}\end{align*}$
dan
$\begin{align*}x_{s} &=\frac{r_{A}.y_{B}+r_{B}.y_{A}}{r_{A}+r_{B}} \\ &=\frac{4.(-6)+3.0}{4+3} \\ &= \frac{-24}{7}\end{align*}$
Selanjutnya, tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan rumus:
(yang kita gunakan adalah persamaan lingkaran pertama)
Dari persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}=16$ diketahui bahwa:
$x_{p}=0,y_{p}=0,r_{A}=4$ , sehingga :
$\begin{align*}y-y_{p} &=m\left ( x-x_{p} \right )\pm r\sqrt{1-m^{2}} \\ y&=mx\pm 4\sqrt{1-m^{2}} \\ -\frac{24}{7}&=\frac{32}{7}m\pm 4\sqrt{1-m^{2}} \\ ---&-----------\left ( \times \frac{7}{4} \right ) \\ -6&=8m\pm 7\sqrt{1-m^{2}} \\\left ( -8m-6 \right )^{2} &=\left ( \pm 7\sqrt{1-m^{2}} \right )^{2} \\64m^{2}+96m+36=49\left ( 1-m^{2} \right ) & \\15m^{2}+96m-13 &= 0\end{align*}$
Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut, gunakan rumus abc karena tidak dapat dipakai cara pemfaktoran.
a=15, b=96, dan c= -13
$\begin{align*}m_{1,2} &=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ m_{1}&= \frac{-48+7\sqrt{51}}{15}\\ m_{2}&= \frac{-48-7\sqrt{51}}{15}\end{align*}$
Diketahui bahwa $S=\left ( \frac{32}{7}; -\frac{24}{7} \right )$ sehingga :
$\begin{align*}y-y_{s} &=m\left ( x-x_{s} \right ) \\y+\frac{24}{7} &=\left ( \frac{-48+7\sqrt{51}}{15} \right )\left ( x-\frac{32}{7} \right )--> m_{1} \\ y+\frac{24}{7}&=\left ( \frac{-48-7\sqrt{51}}{15} \right )\left ( x-\frac{32}{7} \right )-->m_{2} \\ & \end{align*}$
Demikian pembahasan soal persamaan garis singgung dari dua lingkaran.